今年もマクドナルドのハッピーセットのおまけにプラレールがやってきました。

最近の息子(18ヵ月)は俄然電車LOVEなので、
今年は頑張って全種類コンプリートを目指しました。

全部で8種類のおもちゃがあります。
DVDは日にち限定で付いてくるプラレールとトミカの製品紹介のDVD。

2010年版のこのDVDが機嫌の悪い息子をあやすのに1年間大活躍でした。
息子はまだ飽きていないようですが、親がさすがに飽きてきたので、
ぜひ2011年版を入手して気分を変えたいところです。(笑)

みなさんはもう揃いましたか?

testu_happyset_2011

ちなみに当家は10セット購入で全8種類が集まりました。
かなりの打率じゃないですか?

8種類のおもちゃをコンプリートするために
平均何個のハッピーセットを買うことなるかという「期待値」ですが、

8/8 + 8/7 + 8/6 + 8/5 + 8/4 + 8/3 + 8/2 + 8/1 = 21.7428 (セット)

平均すると22セットくらい購入すれば8種類コンプリートできる計算なので、
これより少ない購入数でそろった人は「運のいい人」、
22セット以上買わないとそろわなかった人は「運の悪い人」ということです。

10セットで揃った当家は相当に日頃の行いがよかったということでしょう。
間違いない。

ところで、8種類のおもちゃを10セット購入でそろえるのはどれくらいの確率なんでしょう?

8種類が8セット購入で揃う確率は数学が苦手な杖でも分かります。

8/8 x 7/8 x 6/8 x 5/8 x 4/8 x 3/8 x 2/8 x 1/8 =
8!/8^8 = 0.00240325927734375 ≒ 0.24 % 。

では、8種類の付録のおもちゃを10セットの購入でそろえる確率はどうなるのか?
この問題は数学が苦手な杖にはとたんに分からなくなる。

これを一般化するのはさらに難しくて、「食玩問題」という確率論で語られています。
英語では"Coupon Collector's problem"、ググると英語の論文がたくさん出てきますよ。
ここから先は数学が得意な人に頼るとして。。。

このサイトが「食玩問題」についてまとまっています。
http://aquarius10.cse.kyutech.ac.jp/~otabe/shokugan/

おまけの種類の数、これから欲しい数、これから買う数 のパラメータを入力すると、
手に入る確率を計算をしてくれるフォームがあります。

それによると、
8種類のおまけを、8種類欲しくて、10個の購入で揃う確率は・・・

0.02816319465637207 ≒ 2.8 % 。

ノーミスでコンプリートと比較すると桁が1桁変わりました。
単純計算で約36人に一人はそういう人がいそうです。

どうでしょう?
感覚的にはもっと難しそうに感じますけどね。